Tất cả các nhóm cyclic cấp n đẳng cấu với ( Z n , + n ) , {\displaystyle (\mathbb {Z} _{n},+_{n}),} trong đó + n {\displaystyle +_{n}} ký hiệu phép cộng mô đun n . {\displaystyle n.}

Đặt G {\displaystyle G} là nhóm cyclic và n {\displaystyle n} là cấp của G . {\displaystyle G.} Gọi x {\displaystyle x} là phần tử sinh của G {\displaystyle G} , G {\displaystyle G} khi đó bằng với ⟨ x ⟩ = { e , x , … , x n − 1 } . {\displaystyle \langle x\rangle =\left\{e,x,\ldots ,x^{n-1}\right\}.} Ta sẽ chứng minh rằng

G ≅ ( Z n , + n ) . {\displaystyle G\cong (\mathbb {Z} _{n},+_{n}).}

Định nghĩa

φ : G → Z n = { 0 , 1 , … , n − 1 } , {\displaystyle \varphi :G\to \mathbb {Z} _{n}=\{0,1,\ldots ,n-1\},} sao cho φ ( x a ) = a . {\displaystyle \varphi (x^{a})=a.}

Dễ thấy φ {\displaystyle \varphi } có tính song ánh và

φ ( x a ⋅ x b ) = φ ( x a + b ) = a + b = φ ( x a ) + n φ ( x b ) , {\displaystyle \varphi (x^{a}\cdot x^{b})=\varphi (x^{a+b})=a+b=\varphi (x^{a})+_{n}\varphi (x^{b}),}

từ đó chứng minh được G ≅ ( Z n , + n ) . {\displaystyle G\cong (\mathbb {Z} _{n},+_{n}).}